已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/07/02 07:12:51
高二的题目,要求详细求证
必要性:由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
由a+b=1有上式=0
充分性:由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)
=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
因为ab≠0,所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2+3b^2/4>0
所以a+b-1=0,a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b)(a^2+b^2-ab)
所以当a+b=1可以推出原式=0
当原式=0,因为a^2+b^2-ab恒大于0(用的他算)
所以可以知道a+b=1
得证
若a+b=1
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3ab=1
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=1
作差:a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
若:a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2+b^2-ab)=0
(a+b-1)(a^2+b^2-ab)=(a+b+1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
所以a+b=1
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
已知a,b,c>0且ab+bc+ac=1求证:
已知(1-ab)^2=(2ab-a-b)×(a+b-2),求证ab中至少有一个是1
已知a,b是实数,求证aa+bb+1=>ab+a+b
已知ab是实数,求证a*a+b*b+1>a+b+ab
已知a,b,c>o, 求证(ab+a+b+1)*(ab+ac+bc+c^2)>=16abc
已知A+2B=0,求证A的立方+2AB(A+B)+4B的立方=0.
已知a>b>0,且ab=1,求证(a^2+b^2)/(a-b)>=2*2^1/2
已知a,b∈R,求证:a^2+b^2+1>ab+a
已知a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,求证:a=b=c