将连续两列自然数1~N排成两数圈，能否满足下列要求：

1、第一圈用1~N依次顺时针排成，作为基本圈。
2、第二圈用另一列1~N来排
3、将排好的第二圈叠在第一圈上（数对数），
使得不论如何转动第二圈，两圈总有至少一个数是重合的。
(4)经过实验我们看到：对有的N（如：3、5）可以排成；
对有的N（如：4）不可以排成；
我们希望知道的是：哪些可以；哪些不可以？为什末?

N为奇数时应该是可以的，第二圈排列方式按照如下顺序：
1，（N+3）/2，2，（N+5）/2，3，（N+7）/2……N，（N+1）/2。
也就是说，先按照顺序把从1到（N+1）/2的数字顺时针排好（称为步骤一），
然后把从（N+3）/2到N的数字按顺序插入之前排好的数列的每两个数字之间（称为步骤二）。
然后将第二圈的1跟第一圈重合，此时1是重合的，满足条件，第二圈的2在第一圈的3，第二圈的3在第一圈的5（后面的省略）；
逆时针转1个数字，则2重合，第二圈的3在第一圈的4（后面的省略）；
再逆时针转动一个数字，3重合，之后的4刚好在5的位置。

每转一个数字的位置，就有一个不同的数字重合。

当转到（N+1）/2重合时，也就是把步骤一中的数字都轮流重合了一次后，由于是个环状结构，此时（N+3）/2位于1的后面，1位于（N+1）/2的后面，（N+1）/2跟第一圈的（N+1）/2重合，则（N+3）/2位于(N+5)/2的位置，也就是刚好再转一个数字，可以使（N+3）/2跟第一圈重合。而之后的数字仍然是连续的两个数字中间间隔一个数字，所以仍然满足：每逆时针转动一个数字，刚好有一个数字重合。

那么转完一圈后刚好每个数字重合了一次。

可以注意到，若要满足条件，每转动一个数字都有且只有一个数字重合（称为结论一）。理由如下：
对于每个确定的第二圈排列，经过转动后，可以与第一圈有N中不同的对应方式，而且很明显，若一个数字在其中一种对应方式中与第一圈重合，则其他的对应方式中这个数字一定不重合。一共有N个数字和N种对应方式，如果其中一种对应方式中，有多个数字重合，那必然有至少一中的对应方式，其中每个数字都不与第一圈重合（抽屉原理）

从结论一,我们可以作出如下推论（推论一）:
按照选定的方向(如逆时针)每转一个数字,都会有一个数字与第一圈重合,那么,当数字1与第一圈重合时,其他数字分别按照选定的方向,分别与第一圈的对应数字相距1、2、3、4……N-1个数字的位置。这样才能保证不管转动多少格，都会有与第一圈对应的数字。按上述排列方式，除1外，其他任意数字K与第一圈对应数字相差K-1个数字的位置。