请问函数与反函数分别是什么?

函数与反函数的相互联系

天津四中高级教师刘家征

如果函数存在反函数，那么函数与反函数的性质和图象有着必然的联系。复习时要注意以下两个方面。

1、如果函数 f（ x）与 g（ x）互为反函数，则 g（ x）的定义域和值域分别是 f（ x）值域和定义域。

例 1：函数 y= x+5姨

(x≥ -5)的反函数是（

）（ A） y=x2-5（ x∈ R）（ B） y=x2-5 (x≥ 0)（ C） y=x2+5(x≥ 0)（ D） y=x 2 -5 (x≥ -5)分析：本题解决的关键在于准确求出反函数的定义域，由函数 y= x+5姨 (x≥ -5)及其定义域求得其值域为 [0,+∞)，即为反函数的定义域。故选（B）。

2、如果函数 f（ x）与 g（ x）互为反函数，则 f（ x）与 g（ x）图象关于直线 y=x对称。

例 2：设 f(x)= 1-2x 1+x函数，若函数 g (x)的图象与 y = f-1(x+1)的图象关于直线 y=x对称，那么 g(2)的值为（

）（A）- 2 5（B）- 5 4（C）-1

（D）-2分析：本题的常规解法一：由 f(x)= 1-2x 1+x求得反函数 f-1(x)= 1-x 2+x，进一步得到 f-1(x+1)= -x 3+x，再由函数 y=g(x)与 f-1(x+1)互为反函数，令 -x 3+x =2，解得 x=-2，即 g(2)=-2，故选（D）。

解法二：由于 y= f-1(x)与 y= f(x)互为反函数，又 y = f-1(x+1)，所以 x+1= f（ y）， x= f（ y）-1，所以 y= f-1(x+1)的反函数是 y= f（ x）-1，即 g（ x）= f（ x）-1，从而 g（2） = f（2）-1 = -2，故选（D）。

本题经常出现如下错解：由于函数 y=g(x)的图象与 y= f-1(x+1)的图象关于直线 y=x对称，所以 y=g (x)与 y= f-1(x+1)互为反函数，所以 g(x)= f