关于数学基础的问题，主要是集合论的疑问

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/28 15:00:48
1.个人觉得数学个分支是由如下组成的:集合论+数理逻辑+学科公理(就象代数学中的加法,乘法交换律,结合律等),数理逻辑在数学中的作用功能我已经能够体会到,就是集合论在数学中怎么运作的还不能体会到,我看到集合论的公理中有很多都是说明什么样的集合是存在的,使不合说死集合论主要就是来证明数学中概念的存在的?(比如,证明两个函数相加所的的东西仍为函数,这只是我猜测的一个例子,是不是还有更多的例子希望老师能给于更多的解释和实例)
2.我在有关书籍上看到连自然数都是用集合定义的?是不是说数学上的所有概念最终都是被集合这个概念定义的?
3.数的加法和乘法运算(就象1+1=2),它为什么等于2难道也可以由集合论证明给出的吗?
3.难道说加法,乘法的结合律交换率,分配律这些规律都可以由集合论证明出吗?
这些是我看了一些相关书籍后产生的一些自己不能解释的想法,希望老师们能给予帮助,大多都是自己的猜测,老师门不要认为可笑阿

历史上的认识过程刚好相反，
古代埃及人们使用算术是随意的，
牛顿发明微积分后微分和积分运算也是随意的，根本不考虑函数极限存在性和连续性，
后来由于学科发展的需要和原有理论漏洞太多，
人们才开始逐步逻辑化、公理化，
先是外尔斯特拉斯用ε-δ语言定义极限，
然后用有理数列定义出实数，
实数问题解决后，才开始考虑有理数以至整数、自然数如何定义，
同样开始是皮亚诺搞出自然数公理，
康托尔的集论搞出来后，这一切又要重新从集合论来定义，
罗素悖论出现后又搞出公理集合论ZFC，
最后由布尔巴基学派搞成目前这个样子，
这里，先定义出集合的势和序数，再由集合公理导出皮亚诺自然数公理，然后从皮亚诺公理导出自然数加法和乘法，以后用逻辑等价类导出整数减法、有理数除法，后边又用有理数序列导出实数的极限运算，以后的微分、积分、级数等等都建立在极限运算上，
布尔巴基把全部数学归纳为三种基本结构：代数结构，序结构，拓扑结构，
你可以看看<古今数学思想(1~4卷)>或者类似的讲近现代数学发展史的著作，
<数学及其认识>(高隆昌)给研究生介绍数学思想的书，很有意思。

集合是最初的概念，而1+1=2 也是。
还有平面内，永不相交的两直线平行
他们都是公理，公认成立的 好比是数学这课大树的根

你可以看[陶哲轩的实分析]的确1至4章里面有详细解答