一元二次方程的最大值和最小值都怎样求？

首先，我觉得你说的不是一元二次方程，而是一个二次函数吧？方程只有根，没有最值。

一个函数y=ax2+bx+c对应一条抛物线，它的最值分为以下几种情况：

第一种，x没有限制，可以取到整个定义域。这时在整个定义域上，抛物线的顶点Y值是这个函数的最值，也就是说，当x取为抛物线的对称轴值时，即x=-b/2a时，所得的y值是这个函数的最值。当a是正数时，抛物线开口向上，所得到的最值是抛物线最低点，也就是最小值，此时此函数无最大值。当a是负数时，抛物线开口向下，所的最值为最大值，此函数无最小值。

第二种，x给定了一个变化范围，它只能取到抛物线的一部分，这时需要判断x能够取到的范围是否包括抛物线的对称轴x=-b/2a。

如果包括，那它的一个最值一定在对称轴处得到（最大值还是最小值要由a的正负判断，a正就是最小值，a负就是最大值）。另外一个最值出现在所给定义域的端点，此时可以把两个端点值都带入函数，分别计算y值，比较一下就可以；如果给的是代数形式，也可以用与对称轴距离的大小来判断，与对称轴距离大的那个端点能够取到最值。

如果x的取值范围不包括对称轴，此时无论定义域分成几段，它的最值一定出现在定义域的端点处，当a〉0时，离对称轴最远的端点取得最大值，最近的端点取得最小值。当a〈0时，最远端取得最小值，最近端取得最大值。

基本上就是这样。

看这个例子
比如是:S=-9k/(1+k＾2)可得：
S（1+K＾2）＝-9K，
整理，得：
SK＾2+9K+S＝0
把这个方程看成是一个关于K的一元二次方程，由于K为实数，所以
△＝9＾2-4S＾2≥0，
解得：
-9/2≤S≤9/2
∴S的最大值为9/2．