培训合同未到期，劳动合同到期，这样可以直接离职吗？？什么机构负责解决这一类问题？？

是这样，在法律上两份合同都有效力，那么你后签署的培训合同中如果有与前一分合同矛盾的地方，那么后一份合同如果有调整就会以后一份合同为准。
你可以找当地的劳动仲裁部门咨询相关的问题。
另外，建议你多和单位沟通，毕竟为了一个人打官司单位也没那么大精力，但是咱做人还是厚道点，至少也别让企业蒙受那么大损失嘛~~

你应该先为公司，，因为公司有很多不同的条款，万一你先离职，说不定他会说你不是和我们公司签了培训合同吗？？不怕一万，只怕万一啊。