函数问题···

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/28 08:22:45
已知函数f（x）定义域R，且任意a，b属于R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）.且当x>0时，f(x)<0恒成立.证明：
（1）函数y=f（x）在R上是减函数；（2）函数y=f（x）是奇函数。

谢谢···重酬·

设有任意的x1＜x2∈R,则可以表述为x2=x1+k(k是正数)
故 f(x2)=f(x1+k)=f(x1)+f(k)
因为k＞0,所以f(k)＜0,则
f(x1)-f(x2)＞0,即
f(x1)＞f(x2)
所以函数y=f(x)在R上是减函数.

令a=0,b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),故
f(0)=0
对于属于R的任意x,都有
f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以f(-x)=-f(x)
故函数y=f(x)是奇函数