什么是范数？向量的范数公式是什么？

向量范数

定义1. 设 ,满足

1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0

2. 齐次性:║cx║=│c│║x║,

3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║

则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.

可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.

常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T

1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2

∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)

易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞

定理1.Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使

m║x║α≤║x║β≤M║x║

可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得

定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则

║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)

其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)
→x(k→∞),或 .

三、 矩阵范数

定义2. 设 ,满足

1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0

2.