一道不等式题求方法

不等式左边移到右边，有：
(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)
(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)
=ab(a-b)+c(b^2-a^2)+c^2(a-b)
=(a-b)(ab-c(a+b)+c^2)
=(a-b)[a(b-c)-c(b-c)]
=-(a-b)(b-c)(c-a)<0
所以, a^2b+b^2c+c^2a<ab^2+bc^2+ca^2

a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2
=a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c)
=a^2(b-c)-(ab+ac)(b-c)+bc(b-c)
=(b-c)(a^2-ac-ab+bc)
=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]
=(b-c)(a-b)(a-c)
因为a<b<c，
所以b-c<0, a-b<0, a-c<0,
所以(b-c)(a-b)(a-c)<0,
即a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2<0,
所以a^2b+b^2c+c^2a<ab^2+bc^2+ca^2

a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2
=a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c)
=a^2(b-c)-(ab+ac)(b-c)+bc(b-c)
=(b-c)(a^2-ac-ab+bc)
=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]
=(b-c)(a-b)(a-c)
因为a<b<c，所以b-c<0, a-b<0, a-c<0, 所以(b-c)(a-b)(a-c)<0, 即a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2<0, 故得证。