求证符合这个条件的凸n边形的边数是3的倍数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/18 19:07:37
一个凸n边形如果能被它的不相交的对角线划分成三角形，并且使得多边形的每个顶点恰好是奇数个这些三角形的顶点。
证明：n是3的倍数

这是初中奥数书上的一道题目

按题中所述
把这个n边形的顶点编号，分别是：
A1,A2,A3,A4,A5……,An
要符合题意可以按如下的方法连对角线
A1A3,A1A5,(A3A5),A1A6,A1A8,(A8A9),A1A9,A1A11,(A1A12),…………(An-4,An-3),A1An-3,A1An-1（至此完成，如至此不能完成则不能按要求划分）
按以上A下角标的规它可得出，倒数第二项中A1An-3中的角标n-3是3的倍数，所以n也是3的倍数。
还可以这样研究:
有了以上的做图基础可得出:
设从A1引出了2k条对角线,与A1相连的顶点个数为2k,这2k个顶点相邻的两个相连,可以连成k条对角线,这样就共有3k条对角线,
n边形要分成三角形应有n-3条对角线,划分为n-2个三角形,
所以n-3=3k
n=3k+3
所以n是3的倍数

????大哥问清楚好吗?