已知等边三角形ABC,DE分别是BA和BC延长线上的一点，且AD=BE,求证DC=DE

延长BE到F使CF=AD,连接DF,∵等边三角形ABC,∴AB=BC,∠B=60,∴BD=BF∴三角形BDF是等边三角形
∴∠F=60=∠B,DF=DB∵DA=BE=CF∴BC=EF
∴三角形DBC≌三角形DEF
∴DC=DE

利用余弦定理。
设等边三角形ABC边长为a,AD=BE=b,
则已知角ABC=角DBC=角DBE=60度，
则有DC=DB平方+BC平方-2*DB*BC*cos60度
=（a+b)平方+a平方-2（a+b)a*cos60度
同理DE=DB平方+BE平方-2*DB*BE*cos60度
=（a+b)平方+b平方-2（a+b)b*cos60度
DC-DE=0
所以DC=DE。
我专门画一图，可是无法给你穿上来，你凑合看吧。