海莱定理

我们只来证明当这组凸集的个数是有限多的时候的情况，当凸集的个数是无穷多的时候需要用到一些高等数学的知识。这个结论被称之为Helly定理，它是欧式组合几何中的最重要的结论之一。

为了证明这个结论，我们首先证明一个叫做Radon定理得结论：

如果平面上有n个点，其中n>3，那么一定可以把他们分成两组A，B并且A和B的凸包有交点。

这个结论的证明非常简单。首先任取4个点，x, y, z, w。如果这4个点的凸包就是这4点组成的四边形，那么，A={x,y}, B为z,w以及其余点的集合，显然A的凸包和B的凸包有交点。如果x, y, z, w这4个点的凸包不是四边形，而是三角形或者直线或者一个点，那么一定有一点，比如x在y, z, w的凸包之中，取A={x}， B为其余的点的集合，那么显然A的凸包和B的凸包也有交点。

现在我们可以证明Helly定理了。我们首先证明如果这些凸集的任何n-1个都有交点，那么这些凸集的任何n个都有交点。如果这个结论正确，那么归纳法可以证明整个结论。

令A1，A2，...， An为n个凸集。而 x1 为A2， A3， ...， An 的交点，但是可能不在A1中；同样x2为A1， A3，...， An的交点，但可能不在A2中， 等等，

最后xn 为A1， A2， ...， An-1的交点。

现在考虑集合 {x1, x2, ..., xn}

根据Radon定理，我们可以把这个集合分成两个子集，他们的凸包有交点，这样，这个交点就在所有的凸集A1， A2， ...， An的交集中

则取其中的三个凸集A,B,C，由于凸集的交集还是凸集，记为M1。
第四个凸集与M必交点，因为公共点必定属于A，B，C。所以第四个集合与M1必有交集，记为M2……如此下去……从一个凸集中除去有限或有限可列个凸集，至少还是有一个公共点。

愚见，我的实变函数没学好，唉。