高二数学题3

希望我的解答你会明白：
设a/b=x,因为a、b是正自然数，所以x>0,又设y=x^0.5(也就是根号x)，y>0,
那么(y-1)^2>=0-----1式，
y^2+y+1>0-----1式，
1式*2式得：
(y-1)^2*(y^2+y+1)>=0,
即：(y-1)*(y^3-1)>=0,
即：y^4-y^3-y+1>=0,
即：y^4+1>=y^3+y
所以：(y^4+1)/y>=y^2+1(因为y>0)
代入y=x^0.5得：
(x^2+1)/x^0.5>=x+1
再代入x=a/b,又b是正自然数，化解得：
(a^2+b^2)/ (ab)^0.5≥a+b
得证！祝你学业进步！

(a＾2+b＾2)/ 根号下（ab）≥a+b
根据:[(a^2+b^2)/2]^0.5≥(a+b)/2≥(ab)^0.5
即 :(a^2+b^2)≥(a+b)^2/2,a+b≥2(ab)0.5
(a^2+b^2)/(ab)^0.5-(a+b)
=[(a^2+b^2)-(a+b)(ab)^0.5]/[(ab)^0.5]
≥[(a^2+b^2)-(a+b)(a+b)/2]/[(ab)^0.5]
≥[(a+b)^2/2-(a+b)^2/2]/[(ab)^0.5]
又a,b≥0,(ab)^0.5≥0.
所以, (a^2+b^2)/(ab)^0.5-(a+b)≥[(a+b)^2/2-(a+b)^2/2]/[(ab)^0.5]≥0.

证明：
∵a + b ≥2√ab
∴(a^2 + b^2)/√ab≥a + b 等同于
(a^2 + b^2)/√ab≥2√ab
即 a^2 + b^2 ≥ 2ab
即 (a + b)^2 ≥ 0 显然成立， 得证！