集合那章中，子集的概念是怎么形成的

子集，为大集合中一部分的集合，故亦称部分集合。

定义

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。空集是任何集合的子集。 任何一个集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集.

例子

我们知道，任何一个正偶数都是自然数。就是说，正偶数集E的任何一个元素都是自然数集N的一个元素。

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。记作

读作“A包含于B”（或B包含A）。例如，上述的

如果A中至少有一个元素不属于B，那么A不是B的子集，可记作

读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）。

性质

命题 1：空集是任意集合的子集。

证明：给定任意集合 A，要证明Φ是 A 的子集。这要求给出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ没有元素。

对有经验的数学家们来说，推论 "Φ没有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为Φ没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。

为了证明Φ不是 A 的子集，必须找到一个元素，属于Φ，但不属于 A。 因为Φ没有元素，所以这是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题 2：若 A，B，C 是集合，则：

自反性: A ⊆ A

反对称性: A ⊆ B 且 B ⊆ A 当且仅当 A = B

传递性: 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C

这个命题说明：对任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题