一道数学题,做出来意思意思送点分.

点A(s,f(s)), B(t,f(t))

(I) 若,求函数的单调递增区间；

(II)若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；

(III)若0<a<b, 函数在和处取得极值，且,证明：与不可能垂直.

：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1,

因为f(x)单调递增，

所以(x)≥0，

即 3x2-4x+1≥0,

解得，x≥1, 或x≤,……………………………2分

故f(x)的增区间是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分

(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.

当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤.………………………4分

故有≤(1)≤，

≤(-1)≤，

≤(0)≤,………………………5

即 ………6

①+②，得

≤ab≤，……………………………8分

又由③，得

ab=，

将上式代回①和②，得

a+b=0,

故f(x)=x3x. ……………………9分

(III) 假设⊥,

即= = st+f(s)f(t)=0, ……………10分

(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,

[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1, ……………………………………11分

由s，t为(x)=0的两根可得，

s+t=(a+b), st=, (0<a<b),

从而有ab(a-b)2=9. ………………