在△PMN中,∠PMN=150°,△PMN的面积为4-2√3,求以M为一个焦点,P、N为两个顶点的椭圆的标准方程.

解：M在x轴上时，设M在正半轴上，设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0,c²=a²-b²)
当P、N在不同坐标轴上时,设P在y正半轴上,N在x正半轴上
因为S△PMN=1/2|PM||MN|sinPMN=1/2a(a-c)1/2
又有S△PMN=1/2|MN|b=1/2b(a-c)
所以a=2b
因为S△PMN=4-2√3
所以a=4 b=2
此时椭圆的方程为x²/16+y²/4=1
又因N在x负半轴上时无法满足∠PMN=150°所以舍掉这种情况
当P、N都在y轴上时
因为S△PMN＝1/2|PM||MN|sinPMN=1/2a²1/2=4-2√3
所以a²=16-8√3
由余弦定理得|PN|²=|PM|²+|MN|²-2cosPMN|PM||MN|
(2b)²=a²+a²-2×(-√3/2)a² b²=2
此时椭圆的方程为x²/(16-8√3)+y²/2=1
同理可求M在y轴上时的椭圆方程
综上所述,椭圆的标准方程为x²/16+y²/4=1或y²/16+x²/4=1或x²/(16-8√3)+y²/2=1或y²/(16-8√3)+x²/2=1