很难的题目关于质数，答对追50

毕达哥拉斯说任何数都可以用分数或整数表示，但直到有人(Eudox)指出：单位正方形对角线长度怎么表示呢？它重创了毕哥的信念，现在我们再打击他老人家一次^_^
假设存在这样一个有理数p, p^2 = 2.
再设p = a/b， a、b是两正整数，且既约，就是没有除1外的共因子，使得(a/b)^2 = 2；
变形以后得a^2 = 2 * b^2，推出a^2是个偶数，同时为了满足a^2是个平方数，那b^2必须包含一个因子2，所以a^2 / b^2不是既约的，那a/b也不是既约的啦！与前提矛盾，证得单位正方形对角线长度不是有理数！

4用反证法。假设最大的素数为p，令P=p之前的所有素数的积+1，那么每个小于P的任何素数都不整除P，说明P是素数，但显然P>p，与“p最大”矛盾。故素数无限

假如有最大的质数，不妨设它是P.考虑数P1*P2*P3...*P+1(P1,2,...是所有质数从2到P）,这个数不能被P1,P2,...P整除，因此它也是个质数,矛盾，因此没有最大的质数，命题得证。

反证法证明
假设质数有有限个,设为p1,p2,p3,……，pn,令p1p2p3……Pn+1=N,则N>1,同时有，N有一质因数p,这里p不等于pi,i=1,2,3,……n,否则p|p1p2p3……pn,p|N,因此p|1,所以与p为质数矛盾
故p是上述n个质数以外的质数，次命题得证

质数个数问题

质数有无限个?

这个问题也许不像是问题,但是我们可以证明吗?

这里欧里几的证明很特别的:

假设质数只有有限个,设全部质数为p1 p2 p3 p4 .......... pn, 作无穷递增等比数列的和:

1+ 1/p1 +1/ p12 +。。。。。。 + 1/p1m + 。。。。。。 =1/(1-1/p1)

1+ 1/p2 +1/p22 + 。。。。。。 + 1/p2m + 。。。 。。。 =1/(1-1/p2)

。。。 。。。

1 + 1/pn + 1/pn2 + 。。。。。。+1/pnm + 。