UC知道高二不等式题目
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/28 11:49:22
用放缩法证明：
正数a,b,c满足a>=b>=c及a+b+c=<1。求证：
a^2+3b^2+5c^2=<1
所谓放缩法，即：要证明A>B，则将A缩小至C，并且使C>B,则有A>C>B。
或者要证明A<B，则将A扩大至C，并且使C<B,则有A<C<B。
正数a,b,c满足a>=b>=c及a+b+c=<1。求证：
a^2+3b^2+5c^2=<1
所谓放缩法，即：要证明A>B，则将A缩小至C，并且使C>B,则有A>C>B。
或者要证明A<B，则将A扩大至C，并且使C<B,则有A<C<B。
a+b+c<=1
-> (a+b+c)^2=<1
-> a^2 + b^2 + c^2 +2ab + 2bc + 2ac <=1
由于a>=b>=c
所以2ab>=2b^2 2bc >=2c^2 2ac >= 2c^2
因此有a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac >= a^2+3b^2+5c^2
所以a^2+3b^2+5c^2=<1
a+b+c=<1 则(a+b+c）^2=<1 即 a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=<1
由a>=b>=c可以得出b^2=<ab c^2=<bc c^2=<ac
a^2+3b^2+5c^2=a^2+b^2+c^2+(2b^2+4c^2)
=<a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
=<1