∫sint/tdt=π积分下、上限分别为-∞，∞，怎么证？

证明这个函数的在整个定义域内连续，可导，可积省略。

下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞，下限为0）

因为sint/t不存在初等函数的原函数，所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分。

I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞，下限为0）

显然：
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0）

I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞，下限为0）
=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞，下限为0）
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞，下限为0）
=-1/(1+x^2)

从而有

I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)

|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数，上限为∞，下限为0）
=1/x －－>0 (x－－>+∞)

即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞)

对（1）式两端取极限：

lim(I(x))(x－－>+∞)
=-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C

即有0=-π/2+C，可得C=π/2

于是（1）式为

I(x）=-arctan(x)+π/2

limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0)

I(0)=π/2

所以有
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0）=π/2