求微分方程通解!!

先求对应齐次方程xy'+y=0的解Y
Y=C/x
用常数变异法，可设原方程的通解为

y=c(x)/x

两边求导
y'=(c'(x)x-c(x))/x^2
带入原方程
c'(x)-c(x)/x+c(x)/x=x^2+3x+2
化简得
c'(x)=x^2+3x+2

所以c(x)=x^3/3+3x^2/2+2x+C

y=x^2/3+3x/2+2+C/x

xy′+y=x^2+3x+2
=y`+y/x=x+3+2/x

这里可以令：p(x)=1/x q(x)=x+3+2/x
因为该方程是一介线性非齐次方程：有以下通解公式：
y=e^(-∫p(x)dx)[∫q(x)e^∫p(x)dx dx+c]
∫p(x)dx=∫1/xdx=inx
y=e^(-∫p(x)dx)[∫q(x)e^∫p(x)dx dx+c]
=e^(-inx)[∫(x+3+2/x)e^(inx) dx +c ]

e^(-inx)=1/x e^(inx)=x
=1/x[∫(x+3+2/x)xdx+c]
=1/x[∫(x^2+3x+2)dx+c]
=1/x(1/3x^3+3/2x^2+2x+c)
=1/3x^2+3/2x+2+C1/x

这题可以直接代一阶线性微分方程公式算
P(x)=1/x Q(x)=x+3+2/x
y=e^[-∫P(x)dx][∫Q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C]

下面解法更简捷:
∵(xy)’=xy′+y,
且xy′+y=x^2+3x+2,
∴d(xy)/dx=x^2+3x+2,
∴xy=∫(x^2+3x+2)dx,
右面不定积分:
∴xy=1/3x＾3+3/2x＾2+2x+c,
∴y=1/3x^2+3/2x+2+C1/x,