矩阵存在相似对角阵的充要条件是什么？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 20:13:44
如果已知一个方阵A，肯定能找到它的等价阵
却不一定能找到它的相似阵
那么，对于给定的矩阵A，如何看出它是否存在相似阵？
又，对于已知的矩阵A，如何求它的相似阵B？（这里P是未知的）

谢谢高手指点
矩阵A与B等价是指，A经过几次初等变换，可以得到B
假设PAQ=B,则A与B等价
但是如果A与B是相似的，那么A与B必定是等价的，但是反之却不一定成立。

楼下的不要用定义回答，并不能解答我的问题，因为这里P是未知的

矩阵A存在相似对角阵的充要条件是:如果A是n阶方阵，它必须有n个线性无关的特征向量。

至于如何看A是否存在相似矩阵，只须求出其特征值和特征向量即可看出，公式为AX=λX，其中X为特征向量，λ为特征值。注意，有可能存在求出的某个λ是多重特征值的情况，如w重特征值，只要这个λ对应有w个线性无关的特征向量即不影响相似矩阵的存在。

至于如何求相似矩阵B，现在P不知道，要先求P，P是A的线性无关的特征向量X的组合P=[X1 X2...Xn]，求出P后，按P^(-1)AP=B求B即可。

矩阵A存在相似对角阵的充要条件是:如果A是n阶方阵，它必须有n个线性无关的特征向量。

至于如何看A是否存在相似矩阵，只须求出其特征值和特征向量即可看出，公式为AX=λX，其中X为特征向量，λ为特征值。注意，有可能存在求出的某个λ是多重特征值的情况，如w重特征值，只要这个λ对应有w个线性无关的特征向量即不影响相似矩阵的存在。

至于如何求相似矩阵B，现在P不知道，要先求P，P是A的线性无关的特征向量X的组合P=[X1 X2...Xn]，求出P后，按P^(-1)AP=B求B即可。

若相似于对角阵，那有很多定理
比如：1.A的特征值全是单根，则可相似对角阵
2.n阶阵A若有n个线性无关的特征向量，则可相似于对角阵
3.若矩阵的特征值λ对应的线性无关的特征向量的个数等于这个特征值的重数，则可对角化。

能对角化的情况下求P，是把A的线性无关的特征向量竖着排起来，注意对应次序就行了