在线等！急！求证：不等式1/ln(1+x)-1/x<1/2在0<x<1恒成立

证明：原式等价于：1/ln(1+x)-1/x-1/2<0
通分: 2x-2ln(1+x)-x*ln(1+x)
--------------------- < 0
2*x*ln(1+x)
∵0＜x＜1
∴1<x+1<2
又∵lnX是递增函数，1＜x+1＜2,e>2
∴0<ln(x+1)<1
分母大于0
分子=2x-(2+x)ln(1+x)
∵2<2+x<3,0<ln(1+x)<1
0<(2+x)ln(1+x)<3,0<2x<2
∴ -1<2x-(2+x)ln(1+x)<0
所以 当0＜x＜1时，不等式1/ln(1+x)-1/x<1/2恒成立。