帮忙解1道初二数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 22:28:43
k为何值时，关于x的方程x^2+2(k+3)x+2k+4=0有实数根，并且一个根大于3，另一个根小于3？
现在初二，还没学二次函数呢,应用一元二次方程来解题。已知答案为k<-31/8

解：

方程的判别式是
△=b²-4ac=4(k+3)²-4(2k+4)=4[(k+2)^2+1]>0
利用求根公式，设它的两个解是x1,x2,且x1<x2
易得
x1=-(k+3)-根号[(k+2)^2+1]
x2=-(k+3)+根号[(k+2)^2+1]

根据”一个根大于3，另一个根小于3”得
-(k+3)-根号[(k+2)^2+1]<3
-(k+3)+根号[(k+2)^2+1]>3
化简得
根号[(k+2)^2+1]>-k-6=-(k+6)
根号[(k+2)^2+1]>k+6
即只要满足：根号[(k+2)^2+1]>|k+6|，即可
两边平方得
(k+2)²+1>(k+6)²
k²+4k+4+1>k²+12k+36
8k<-31
k<-31/8

x^2+2(k+3)x+2k+4=0
则[2(k+3)]^2-4(2k+4)
=4k^2+24k+36-8k-16
=4k^2+16k+20
所以两个根是x=[-2(k+3)±√(4k^2+16k+20)]/2
显然[-2(k+3)+√(4k^2+16k+20)]/2>[-2(k+3)-√(4k^2+16k+20)]/2
所以[-2(k+3)+√(4k^2+16k+20)]/2>3
[-2(k+3)-√(4k^2+16k+20)]/2<3

[-2(k+3)+√(4k^2+16k+20)]/2>3
-2(k+3)+√(4k^2+16k+20)>6
√(4k^2+16k+20)>2k+12
4k^2+16k+20>4k^2+48k+144
32k<-124
k<-31/8

[-2(k+3)-√(4k^2+16k+20)]/2<3
-2(k+3)-√(4