求曲面x2+2y2+3z2=21平行于平面x+4y+6z=1的切平面方程

设切平面为x+4y+6z=c (c为参数)

则其法向量为{1,4,6}

曲面x2+2y2+3z2=21任意处点（x0,y0,z0）的法向量为{2x0,4y0,6}

设切点为（x,y,z）
所以{1,4,6}={2x,4y,6}
解得 x=0.5 y=1

带入曲面方程得z=正负5/2

将（0.5,1,2.5）和（0.5,1,-2.5）分别带入切平面方程
解得为 x+4y+6z=19.5 和 x+4y+6z=-10.5

令F=x^2+2y^2+3z^2－21，求偏导数Fx=2x，Fy＝4y，Fz＝6z
设所求为M（x′ ，y′ ，z′）处切平面，法向量为｛2x′ ，4y′,6z′），
已知平面法向量为｛1,4,6｝有2x′＝4y′／4＝6z′／6
y′＝z′＝2x′ ，代入曲线方程，x^2+2y^2+3z^2=21，有21x′ ^2＝21
x′＝±1，对应y′＝z′＝±2，
M为（1，2，2），切面方程为2（x－1）＋8（y－2）＋12（z－2）＝0, x+4y+6z－21＝0
M为（-1,-2,-2）,切面方程为-2（x＋1）－8（y＋2）－12（z＋2）＝0, x+4y+6z＋21＝0

令F=x^2+2y^2+3z^2－21，求偏导数Fx=2x，Fy＝4y，Fz＝6z
设所求为M（x′ ，y′ ，z′）处切平面，法向量为｛2x′ ，4y′,6z′），
已知平面法向量为｛1,4,6｝有2x′＝4y′／4＝6z′／6
y′＝z′＝2x′ ，代入曲线方程，x^2+2y^2+3z^2=21，有21x′ ^2＝21
x′＝±1，对应y′＝z′＝±2，
M为（1，2，2），切面方程为2（x－1）＋8（y－2）＋12（z－2）＝0, x+4y+6z－21＝0
M为（-1,-2,-2）,切面方程为-2（x＋1）－8（y＋2）－12（z＋2）＝0, x+4y+6z＋21＝0