帮我解一道等腰梯形的证明题？

等腰梯形ABCD(上底是DC,下底AB,AD和BC是两腰)中,AC.BD相交于点O,P.R.Q分别是OA.OD.BC上的中点,且角AOB等于60度.求证;三角形PRQ是等边三角形.

分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理，利用条件可知PR＝1/2AD，能否把PQ、RQ与AD、BC联系起来成为解题的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则∠BRC＝90°，QR就为斜边BC的中线，中点是关键，60°角协同解题.如果只注重60°角，力图求△PRQ的各个角度，问题就变得复杂.

证明：连RC，∵四边形ABCD为等腰梯形且AB‖DC

∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD

又∵DC为公共边 ∴△ADC≌△BCD

∴∠ACD＝∠BDC ∴△ODC为等腰三角形

∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∴△ODC为等边三角形

∵R为OD的中点

∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)

∵Q为BC的中点 ∴RQ＝1/2BC＝1/2AD

同理PQ＝1/2BC＝1/2AD

在△OAD中 ∵P、R分别为AO、OD的中点

∴PR＝1/2AD ∴PR＝PQ＝RQ

故△PRQ为等边三角形

同方股份