UC知道线形代数秩证明问题（有答案，看不懂）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 19:45:26
设A=（a)[s*n],B=(b)[n*m] [s*n]表示行s列n
证明：r(AB)>=r(A)+r(B)-n
答案：设r(A)=r,r(B)=t,则存在非奇异矩阵P，Q，使
PAQ={I 0}
` {0 0}
PAB=PAQQ^-1B={I 0}Q^-1B={I 0}C={I 0}{C1}={C1} Q^-1表示Q逆
` {0 0} {0 0} {0 0}{C2} {0 }
r(AB)=r{C1}=r(C1)>=r(C)-(n-r)=r(C)+r-n=r(B)+r(A)-n
` {0 }
我完全看不懂他解的过程，（为什么要用PAB这个式子来解题，为什么不是PAQB来解，r(AB)怎么会等于r(C1),r(C)-(n-r)怎么来的？请高手详细讲解。谢谢
回答好的话有追加分
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证明：r(AB)>=r(A)+r(B)-n
答案：设r(A)=r,r(B)=t,则存在非奇异矩阵P，Q，使
PAQ={I 0}
` {0 0}
PAB=PAQQ^-1B={I 0}Q^-1B={I 0}C={I 0}{C1}={C1} Q^-1表示Q逆
` {0 0} {0 0} {0 0}{C2} {0 }
r(AB)=r{C1}=r(C1)>=r(C)-(n-r)=r(C)+r-n=r(B)+r(A)-n
` {0 }
我完全看不懂他解的过程，（为什么要用PAB这个式子来解题，为什么不是PAQB来解，r(AB)怎么会等于r(C1),r(C)-(n-r)怎么来的？请高手详细讲解。谢谢
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用PAB,是为了构造一个PAQQ^-1B出来,然后PAQ变成一个标准型,Q^-1B变成另一个矩阵C.
我估计你有个感念没搞清楚.一个矩阵乘以一个可逆矩阵不会改变它的秩,因为它乘上一个可逆矩阵相当于做初等变换,而初等变换是不会改变矩阵的秩的.
所以R(PAB)=R(AB),R(B)=R(Q^-1B)=R(C)也是一样的道理.
对于R(C1)>=R(C)-(n-r),这个我也想了很久.还比较麻烦.
由第二步可以看出C=(C1,C2)^T(这个^T是转置),由矩阵分块的方法可以知道,C1是个行数为r的小块,C2是行数为n-r的小块,对于R(C)来说,若已知了R(C1),则在C1这个矩阵下面再加上n-r行,只会使矩阵C的秩增大,最极端的情况就是这n-r行全部变成了矩阵C的秩,也就是R(C)<=R(C1)+(n-r),换一下边就是R(C1)>=R(C)-(n-r).
我也没有简单的方法,也只能这么想了.
还有,你最开始说的什么非奇异矩阵P,Q是什么意思,我觉得应该是可逆矩阵吧.