给定正整数n和实数M，对于满足条件:(a1)^2+[a(n+1)]^

解法一 由Cauchy不等式求解
S=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n+1)
=(n+1)*[a(n+1)+a(2n+1)]/2
=(n+1)*[3a(n+1)-a1]/2
=<[(n+1)/2]*√{[3^2+(-1)^2]*[(a(n+1))^2+(a1)^2]}
=<[(n+1)/2]*√(10M^2)。
所以S的最大值为[(n+1)*｜M｜*√10]/2。

解法二，设a1=｜M｜k*sint，a(n+1)=｜M｜k*cost， 0<k≤1，0<t<2π，
则S=[(n+1)/2]*[a(n+1)+a(2n+1)]
=[(n+1)/2]*[a(n+1)+2a(n+1)-a1]
=[(n+1)/2]*[3｜M｜k*cost -｜M｜k*sint]
=[√10*｜M｜*k*(n+1)/2]*cos(t+x)
≤[√10*｜M｜*(n+1)/2]*cos(t+x)
≤[√10*｜M｜*(n+1)/2]
等号当且仅当k=1,t+x=2π时取得, 其中锐角x满足
sinx=1/√10，cosx=3/√10。

解法三 设a1=a，公差为d。则a(n+1)=a+nd，那么题设条件转化为
a^2+(a+nd)^2≤M^2 (1)
由S=(n+1)*a(n+1)+n(n+1)d/2=(n+1)(a+nd)+n(n+1)d/2
<==> d=2[S-a(n+1)]/[3n(n+1)] (2)
将(2)式(代入(1)得:
a^2{a+2[S-a(n+1)]/[3(n+1)]}^2≤M^2
<==> 10a^2+4S*a/(n+1)-4S^2/(n+1)^2-9M^2≤0 (3)
把(3)式视作二次函数f(a) ，f(a)≤0，则△≥0，即
[4S/(n+1)]^2≥40*[4S^2/(n+1)^2-9M^2]
<==> 45M^2≥18S^2/(n+1)^2
<==