求函数f(x)=x2+2a2x-1(a为常数)在区间[2，4]上的最大值

解：函数f(x)=-ax2+2a2x-1的对称轴为x=-a^2，且函数f(x)=-ax2+2a2x-1为下凸（上凹）函数
故其在（-∞，-a^2)上为单调递减，在[-a^2,∞)上单调递增
-a^2≤0，故函数f(x)在[2,4]上单调递增
f(x)max=f(4)=8a^2+15,x∈[2,4]

注意此题还可能出成：求函数f(x)=x2+2ax-1(a为常数)在区间[2，4]上的最大值

这种情况就比较复杂了，下面给出解决步骤：

函数f(x)=x2+2ax-1为以x=-a为对称轴的2次函数，要求函数在区间[2，4]上的最大值，需讨论对称轴x=-a的位置

解：函数f(x)=x2+2ax-1的对称轴为x=-a，且函数f(x)=-ax2+2ax-1为下凸（上凹）函数
故其在（-∞，-a)上为单调递减，在[-a,∞)上单调递增

1^当[2,4]在（-∞，-a)内时，即a＜-4时，函数f(x)=x2+2ax-1的最大值f(x)max=f(2)=4a+3；

2^当[2,4]在[-a,∞)内时,即a≥-2时，函数f(x)=x2+2ax-1的最大值f(x)max=f(4)=8a+15；

3^当-a∈(2,4],即-4≤a＜-2…①时还要分类讨论
当-a-2＞4-（-a),即a＜-3联合①有-4≤a＜-3，此时f(x)max=f(2)=4a+3
当-a-2＜4-（-a),即a＞-3联合①有-3＜a＜-2,此时f(x)max=f(4)=8a+15
当-a-2=4-（-a),即a=-3时，f(x)max=f(2)=f(4)=-9.

PS：3^中我取-a∈(2,4],而不是-a∈[2,4],是因为这样更严谨,你在做题时并不一定要考虑得如此细微。