初中数学-三角形中线

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 18:32:17
一任意三角形，做它的三条中线，求以这三条中线为三角形的三边构成的三角形的面积与原三角形的面积比，希望各位老师能写出步骤，鄙人不慎受恩感激（用相似性的方法），方法好的并予以加分。

1. 设三角形三个角为A, B, C
2. AB中点为E, AC中点为F, BC中点为G

因为AE:AB = AF:AC又因为角A=角A, 所以三角形EAF相似与三角形BAC
因为相似三角形面积比=边长比的平方, 又因为边长比为1:2, 所以三角形EAF:三角形BAC=1:4. 即1/4 ABC

同理, 三角形BEG和GFC也是1/4 ABC
中线的三角形EFG面积=ABC - 3个四分之一ABC面积的三角形(AEF, EBG, FGC) = 1/4 ABC的面积

所以面积比为1:4

1:4
做△ABC的中线DE、EF、FD。角A、角B、角C对应的边为a、b、c。四边形BDEF是平行四边形，所以角B=角DEF。由中线可知EF=1/2BC=1/2a。ED=1/2AB=1/2c。
S△ABC=1/2*a*cSINB
S△DEF=1/2*(a/2)*(c/2)*SINDEF=1/4S△ABC