you cannot have the horse __ all the way.it is too hot.

填 running，原因有二：

首先 have sb do sth 是一个固定搭配来的，就是让某人做某事，
I had my sister buy some friut for me.
我让我姐姐帮我买了一些水果。

have sb doing sth是让某人一直做某事，是一个持续的动作。

其次， all the way （省略了to somewhere）是持续性的时间状语，可能是说话的人要骑马到一个很远的地方，所以前面搭配的动词要用动词要表达出持续的状态，所以应该填 running 来表示这个意思。

整个句子的意思就是：
天气太热了，你不能让马一路上跑。

running在整句话中表示：你不能让马一直处于奔跑状态（天气太热，马会受不了的）
to run 则表示“你不能让马在路上跑，太热了”
很明显，前者更加贴切

这里have 不是有的意思，而是使役动词，意思是使....或者让....
有两种用法：
一、have sb do:让某人做某事
二、have sb.doing:让某人一直做某事

这句有all the way,意识是一直..., 所以应该用第二个，have the horse ruuning, 让马一直跑。