求关于蝴蝶定理的椭圆解析几何题（高2）水平

蝴蝶定理及其对高中解析几何的启示

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摘要：

本文主要向读者介绍了蝴蝶定理的背景和一些典型的证明方法，并从一道高考题的证明过程中，总结出它对高中解析几何学的一些启示。

关键词：

二次曲线，射影几何，三点共线问题

名词解释：

二次曲线：

平面直角坐标系中x，y的二次方程所表示的图形的统称。常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线。因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到。

直线上三个点的单比：（AB，C）=

直线上四个点的复比（交比）：（AB，CD）=

正文：

一、蝴蝶定理的发展历程简介：

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

1969年，查克里恩从订立的定理考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：

任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。

1985年，蝴蝶定理传入中国。

接着，中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点，有蝴蝶定理的坎迪形式。

同年，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。

接下来，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如，椭圆中的蝴蝶定理。

1990年，出现了筝形蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。

关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量