是否存在锐角α和β，使得①α+2β=2π/3；②tanα/2*tanβ=2—√3同时成立？

tαn(α/2+β)=[tαn(α/2)+tαnβ]/[1-tαn(α/2)tαnβ]
即tαn(π/3)=[tαn(α/2)+tαnβ]/[1-(2-√3)]=√3
tαn(α/2)+tαnβ=√3(√3-1)
tαn(α/2)+tαnβ=3-√3

可知(tαnα/2)与tαnβ是方程x^2-(3-√3)x+2-√3=0的两根
(x-(2-√3))(x-1)=0
x=2-√3>0 x=1>0

由锐角α,β tαnα>0 tαnβ>0
可知存在锐角α,β
tαnα=2-√3 tαnβ=1 or tαnα=1 tαnβ=2-√3
α=π/12 β=π/4 or α=π/4 β=π/12

由α+2β=2π 3 得到α 2 +β=π 3 ，所以tan（α 2 +β）=tanα 2 +tan β 1-tanα 2 tanβ =tanπ 3 = 3 ，
把tanα 2 •tanβ=2- 3 ①代入式子中得到：tanα 2 +tanβ=3- 3 ②，
把①②联立求得：tanα 2 =1，tanβ=2- 3 或tanα 2 =2- 3 ，tanβ=1；
由题知锐角α，当tanα 2 =1时，α=π 2 矛盾，所以舍去；
当tanβ=1时，因为β为锐角，所以β=π 4 ，
根据α+2β=2π 3 得到α=π 6 ．

解：（1）由α+2β=2π /3 得到α/2 +β=π /3 ，所以tan（α /2 +β）=[tan(α /2) +tan β] /[1-tanα /2 tanβ] =tanπ/ 3 =√ 3 ，
把tan（α ／2） •tanβ=2- √3 ①代入式子中得到：tan﹙α ／2﹚ +tanβ=3- √3 ②，
把①②联立求得：tan﹙α ／2 ﹚=1，tanβ=2- √3 或tan﹙α ／2 ﹚=2- √3 ，tanβ=1；
由题知锐角α，当tan﹙α／ 2 ﹚=1时，α=π ／2 矛盾，所以舍去；
当tanβ=1时，因为β为锐角，所以β=π／ 4 ，
根据α+2β=2π