三次方程根的分布

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/25 14:36:36
是否存在自然数m使得2x^3-10x^2+37=0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实根？若存在求出所有的m值

记 f(x)=2x^3-10x^2+37, 则 f'(x)=6x^2-20x=2x(3x-10).
令f'(x)=0, 有 x=0, x=10/3.
容易断定f(x)在x=0 取得极大值37，在x=10/3取得极小值-1/27；
计算得到 f(3)=1>0, f(4)=5>0;
又因为函数连续，所以它在闭区间 [3,4]上这样变化：从f(3)=1>0到
f(10/3)=-1/27<0, 再到f(4)=5>0, 其间恰好两次穿过x轴，满足题目要求。所以n=3.