一道高一数学题(有追加哦!)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/22 14:25:48
已知曲线C：y=1/x，Cn：y=1/x+2的-n次幂（n属于正整数）。从C上的点Qn(xn,yn)作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Q(n+1) （x(n+1),y(n+1)）,设x1=1，an=x(n+1)-xn，bn=yn-y(n+1).
（1）求Q1,Q2的坐标；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记数列{an*bn}的前n项和为Sn，求证Sn小于1/3

y(n) = 1/x(n)
P(n)的坐标为（x(n),1/x(n) + 2^(-n)）
1/x(n) + 2^(-n) = 1/x(n+1)
1/x(n-1) + 2^(1-n) = 1/x(n)
...
1/x(1) + 2^(-1) = 1/x(2).

1/x(1) + 2^(-1) + ...+ 2^(1-n) + 2^(-n) = 1/x(n+1)

x(1) = 1,

1/x(n+1) = 1 + 1/2 + ... + (1/2)^(n-1) + (1/2)^n = [1-(1/2)^(n+1)]/[1-1/2] = 2[1-(1/2)^(n+1)].

1/x(n) = 2[1-(1/2)^n] = 2 - 2^(1-n)
x(n) = 1/[2-2^(1-n)], n = 1,2,3,...
y(n) = 1/x(n) = 2 - 2^(1-n), n = 1,2,3,...

(1)Q1的坐标为（1，1）；Q2的坐标为（2/3，3/2）；

(2)a(n) = x(n+1) - x(n) = 1/[2 - 2^(1-n-1)] - 1/[2 - 2^(1-n)]

= 1/[2 - 2^(-n)] - 1/[2 - 2^(1-n)]
n = 1,2,...

(3)b(n) = y(n) - y(n+1) = 2 - 2^(1-n) - 2 + 2^(1-n-1)

= 2^(-n) - 2^(1-n)

a(n)b(n) = [2^(-n) - 2^(1-n)]{1/[2 - 2^(-n)] - 1/[2 - 2^(1-n)]}

= [1 - 2]{1/[2^(n+1) - 1] - 1/[2^(n+1) - 2]}

= 1/[2^(n+1) - 2] - 1/[2^(n+1) - 1]

a(1)b(1) + a(2)b(2) + ... + a(n)b(n)
<