导函数问题，求解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/28 04:45:15
设a大于等于0，f（x）=x-1-ln^2 x+2alnx（x大于0）。
1.令F（x）=xf’（x），讨论F（x）在（0.+无穷）内的单调性并求极值。
2.求证：当x大于1时，恒有x大于ln^2 x-2alnx+1。

(1) f'(x)=1-(2lnx)/x+(2a)/x; 故
F(x)=xf'(x)=x-2lnx+2a; 所以
F'(x)=1-2/x.
当1-2/x<0, 即 0<x<2时，F(x)单减；
当1-2/x>0, 即 x>2时，F(x)单増；
从而，当 x=2 时 F(x)取极小值为 2-2ln2+2a

(2) f'(x)=F(x)/x.
在(1)中已证，当x>1时,F(x)的最小值为F(2)=2-2ln2+2a >0 (因为ln2<1),
所以当x>1时，f'(x)=F(x)/x>0, 即f(x)单増，故
f(x)>f(1)=0; 也即 x>ln^2 x-2alnx+1 在x大于1时恒成立。