一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为

e1=c/a,e2=c/b,c^2=a^2+b^2
e1+e2=c/a+c/b=c(a+b)/(ab)
=(a+b)√(a^2+b^2)/(ab)
≥2√(ab)·√(2ab)/(ab)
=2√2
所以最小值为2√2,当且仅当a=b时可以取到。

两条双曲线共渐近线,并且称为共轭双曲线

容易看出1/e1^2+1/e2^2=1令e1^2=m e2^2=n
即1/m+1/n=1
通分后有m+n=mn≤(m+n)^2/4
解得m+n≥4

所以e1^2+e2^2的最小值是4

当且仅当e1=e2=根号2时取得