正定负定矩阵的题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 16:38:59
已知：A是半正定矩阵，X是列向量。记X'表示X的转置。
证明：无论X取什么值，矩阵
[0 X']
[X A ]
的行列式恒非正。
A是实对称半正定矩阵

当A严格正定时，
假设|0 X'|=r>0，
|X A |
令t=-r/|A|<0
于是
|t X'|=0
|X A |
所以存在不都为0的列向量Y和实数a，使得：
0 = [t X'] [a] = [at + X'Y]
[X A ] [Y] [aX + AY ]
于是
at + X'Y=0
aY'X+Y'AY=0
Y'AY = -aY'X = a^t <= 0，
由于A是严格正定的，所以必须Y=0，a=0，矛盾

对于一般的半正定矩阵A，对于t>0，
(A+tE)是严格正定的，所以
|0 X'| = |0 X' | <= 0
|X A | |X A+tE|