请帮我解一道题!!
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/28 14:47:30
设a、b、c是正整数,且(a、b、c)=1,也就是它们的最大公约数是1。ab+bc=ac
求证:a-b是一完全平方数。
求证:a-b是一完全平方数。
证明:(a+b)c=ab
设a=(a, b)x,b=(a, b)y,则 (x, y)=1,
方程变为 (x+y)c=(a, b)xy
因为(c, (a, b))=(a, b, c)=1,所以c|xy,
设s=(c, x),t=(c, y)
则 c=st,s|x,t|y,(s, t)=1
x=ms,y=nt
(ms+nt)st=(a, b)msnt
ms+nt=(a, b)mn
m|nt,n|ms,
注意(ms, nt)=(x, y)=1
就得到 m=1,n=1
x+y=(a, b)
所以 a+b=(a, b)^2