若函数y=log1/2(3cos^2x+2asinx+1)的定义域为R，求实数a的取值范围

解答：为了使对数有意义，必须
3cos^2x+2asinx+1 = -3sin^2x+2asinx+4 > 0。
因为由题设知log1/2(3cos^2x+2asinx+1)的定义域为R，
所以x可以取任何实数值，因此sinx也就可以取-1到1之间的任何值，
所以我们只要求适当的a，使得-3z^2+2az+4>0对于所有的-1<=z<=1
都成立就可以了，其中的z=sinx。

因为-3z^2+2az+4是一个下凸函数，所以整个函数在-1<=z<=1区间内
的最小值一定在端点z=-1或者z=1处出现，（通俗的解释见最下面）
所以只要保证z=-1和z=1时，-3z^2+2az+4>0就可以了。
这就得到两个不等式
-3-2a+4>0
-3+2a+4>0
两不等式联立，就得到
-1/2<a<1/2。

下面解释一下为什么函数-3z^2+2az+4在-1<=z<=1区间内的最小值
一定在端点z=-1或者z=1处出现，
设对任意的-1<z<1，记f(z)=-3z^2+2az+4，
则f(-1)=-3*(-1)^2+2a*(-1)+4，f(1)=-3*1^2+2a*1+4，
那么f(z)-f(-1)=-3*(z+1)(z-1)+2a(z+1)=3*(1-z^2)+2a(z+1)，
f(z)-f(1)=-3*(z－1)(z+1)+2a(z-1)=3*(1-z^2)+2a(z-1)，
由于-1<z<1，上面的两个式子右端中，3*(1-z^2)>0，
z+1>0，z-1<0，所以不管a的正负,2a(z+1)与2a(z-1)一定有一个>0，
从而f(z)-f(-1)和f(z)-f(1)中至少有一个大于0，
因此f(z)在-1<=z<=1区间内的最小值一定在端点z=-1或者z=1处出现。
（其实高等数学中利用下凸函数已经能保证这一事实的成立！）