△ABC的三角平分线交于D，MN过D，且MN⊥AD。求证：△MBD∽△DBC∽△NDC

很简单
先说明一下,题目有点疏漏,M应该在AB上
证;
先设∠BMN=∠1,∠ABD=∠2,∠CBD=∠3,∠DCB=∠4,∠ACD=∠5,∠CNM=∠6
因为D为内心
所以∠DAC=∠DAB,∠2=∠3,∠4=∠5
因为AD⊥MN
所以∠AMN=∠ANM
所以∠1=∠6
因为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360
∠2=∠3,∠4=∠5,∠1=∠6
所以∠3+∠4+∠1=180
因为∠3+∠4+∠BDC=180
所以∠BDC=∠1
同理∠MDB=∠4
因为∠BDC=∠1=∠6
∠MDB=∠4=∠5
所以△MBD∽△DBC∽△NDC
命题得证

角MBD=角DBC，
角BMD=角BAD+角ADM=1/2角BAC+90，
角BDC=180-（角DBC+角DCB）
=180-1/2（角ABC+角ACB）
=180-1/2（180-角BAC）
=90+1/2角BAC
=角BMD
所以△MBD∽△DBC。
角NCD=角DCB
角DNC=角DAB+角ADN
=1/2角BAC+90
=角BDC
所以 △DBC∽△NDC
所以 △MBD∽△DBC∽△NDC