定点A（0，1）B（0，-1）C（1，0），动点P满足：向量AP乘以向量BP=K*（向量PC的平方）

（1）P(x,y),向量AP=(x,y-1),向量BP=(x,y+1),向量PC=(1-x,-y)。x²+y²-1=k(1-x)²+ky²,整理得[x-(k/k-1)]²+y²=[1/(k-1)]²(k≠1)。在k≠1时方程表示的曲线为圆；k=1时，方程表示直线。
（2）当K=2时，方程为(x-1)²+y²=1,2（向量AP）+向量BP=(3x,3y-1),|2（向量AP）+向量BP|²=9[x²+(y-1/3)²]。而其中√[x²+(y-1/3)²]为圆(x-1)²+y²=1上个点到点（0，1/3）的距离。最小值为两点（1，0）（圆心）、（0，1/3）之间的距离减去1，最大值为两点（1，0）（圆心）、（0，1/3）之间的距离加上1。
两点（1，0）（圆心）、（0，1/3）之间的距离为√10/3。
所以，｜2（向量AP）+向量BP｜的最大值为√10+3；｜2（向量AP）+向量BP｜的最小值为√10-3。

解：（1）设p(x,y),由题意,(x,y-1）×(x,y+1)=k[(1-x,-y)×(1-x,-y)]，得出
x(y+1)+(y-1)x=2k(x-1)y得出2xy=2k(x-1)y得出x=k(x-1),(k-1)x=k得出
x=k/(k-1)
这就是P的轨迹，这是一条直线
（2）当k=2，p的坐标为p(2,y)，故｜（4，2y-2）+(2,y+1)｜=｜(6,3y-1)｜
=(36+9y^2-6y+1)^0.5≥6

最小值为√10-3