高手帮忙解答3道数学难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/28 17:28:48
1、a、b、c不全为0，满足a+b+c=0，a^3+b^3+c^3=0,使得a^n+b^n+c^n=0恒成立的正整数n为“好数”，则不超过2007的正整数中的“好数”的个数为
2、如图，O为三角形ABC内的一点，延长AO交BC于D，延长BD交AC于E，三角形BOD、AOE、AOB的面积分别为7，14，21.则BD/CD=？
3、使m^2+m+7为完全平方数的正整数m的个数为

图片是第2题的

1.
a,b,c不全为0,那么a,b,c中必然有两个数x,y,使得x+y≠0
不妨设a+b≠0,则c=-(a+b)≠0
a^3+b^3=-c^3
a+b=-c
两式相除:
a^2+b^2-ab=c^2
(a+b)^2-3ab=c^2
c^2-3ab=c^2
ab=0,a,b有一个是0,不妨设a=0,那么b+c=0,b=-c
a^n+b^n+c^n=b^n+c^n=b^n+(-b)^n=0
n必然是奇数
不超过2007的奇数有(2007+1)/2=1004个
所以"好数"的个数是1004

2.
连接CO,设S(⊿COD)=x,S(⊿COE)=y,那么:
CD:DB=S(⊿COD):S(⊿DOB)=S(⊿CAD):S(⊿ADB)
CE:EA=S(⊿COE):S(⊿AOE)=S(⊿CBE):S(⊿ABE)
把面积代进去:
x/7=(x+y+14)/(7+21)
y/14=(x+y+7)/(14+21)
解得x=8,y=10
那么BD/CD=S(⊿BOD):S(⊿COD)=7/8

3.
设m^2+m+7=n^2
4m^2+4m+28=4n^2
(2m+1)^2+27=(2n)^2
令2m+1=a,2n=b
a^2+27=b^2
(b-a)(b+a)=27
因为27=1*27=3*9
所以
b-a=1
b+a=27
或者
b-a=3
b+a=9
解得
a=13,b=14或者a=3,b=6
所以m=6,n=7或者m=1,n=3
m的个数是2