是不是所有代数数都可以用根号表示？

这里只讨论整系数方程。
有理系数的，可以通过乘法化为整系数；
含有代数数的，可以通过乘方和四则运算化为有理系数；
事实上，
我们关心求根公式,实际与系数本身无关，而是与系数的组合与分布情况有关。
比方说：方程x*x=超越数e,我们仍然说他有求根公式，±√e,只是根号下为超越数。

一般五次以上方程无求根公式,是说，无法用有限次数的开方运算来求得其根。
也就是说，绝大多类别的五次以上方程所确定的代数数，不能用只有有限次数个根号的根式来表示（###）。

要举例的话，只要列出一个不能在实数域上被分解的五次方程，它所确立的五次代数数，都如(###)所说，例如:x^5+x+1=0.
对于什么样的方程能够用根式解，伽罗华基于阿贝尔的成果，建立了群论，对此已经作了很好的解决；而不符合其判定的，就是不可解的，从而所确立的代数数，就是如(###)所说的。

而用迭代法，理论上可以找到无穷级数或其他形式的精确解.不过，对于迭代或允许按某些规则进行无限次开方来求精确解，还有很多课题需要我们去研究。
比如一个简单的问题：一般的五次方程，能否通过有限次的开方与无穷级数、迭代配合起来，以最简的形式描述其解？

能用使用有限次根号的根式求根的整系数五次方程，必定可以在实数域上分解为一次多项式之积。
在有理数域上，可能分解为一次，二次，三次，四次多项式的各种积或幂。

但特殊的五次方程的根是不是都可以用根号表示
那要看你想要多“特殊”……

很多代数数都不能……
随便写个麻烦的高次方程就不行了……