求一道高一几何应用题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/20 16:27:37
有一块边长为4的正方形钢板,现对其切割,焊接成一个长方体形无盖容器.有人应用数学知识作如下设计:在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高是小正方形的边长.
⑴请你求出这种切割,焊接而成的长方体容器的最大容积V1
⑵请你判断上述方案是否最佳方案,若不是,请设计一种新方案,使材料浪费最少,且所得长方体容器的体积V2>V1

（1）该长方体的底边必为一个正方形
且正方形的边长=4-2×高
设底边边长为x
则高=(4-x)/2
容积V=x^2*(4-x)/2=(4x^2-x^3)/2
求导，V'=(8x-3x^2)/2
V'=0时，x=8/3（x=0不合题意，舍去）
即x=8/3时，V有最大值
V1=(8/3)^2*(4-8/3)/2=128/27

（2）重新设计如下：
先在正方形一边的两个角处各切下一个边长为1米的小正方形，
再将这两个小正方形焊在另一边的中间，
然后焊成长方体容器，
这样设计，除了切割线少许损失以外，不浪费任何材料。
长方体的底边长为4-1=3
宽为4-1-1=2
高为1
其容积V2＝3×2×1＝6＞V1。