如有人通过手机发送对自己谩骂、污辱人格甚至威胁的信息，应怎样通过法律手段让对方承担相应的法律责任？

这是违法行为，可以去公安局报案，维护自己的合法权益。
　　《治安管理处罚法》第四十二条第(五)项规定“多次发送淫秽、侮辱、恐吓或者其他信息，干扰他人正常生活的“，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。

在己方没有首先挑衅和没有对骂的意愿的情况下，对方的谩骂信息48小时内不停地骚扰而没有停止的意思的话，是可以持手机到公安机关报案的。
而公安机关主要会为你解决被人骚扰之苦，而若果信息中含有威胁你个人生命财产安全的意图的话公安机关还会立案调查并为你提供必要的保护。前提是你要配合调查，这样的话会相当麻烦。
如果信息只是因民事纠纷而起的话即使报案了也只是调解为主的。最多也就是让对方停止骚扰而且对你赔礼道歉。
短信干扰这东西不好说，及时报案了公安机关也未必受理，因为这东西多如牛毛，而且难以找到证据证明正是对方机主对你进行的骚扰，因为他一句“手机被偷”就可以推得一干二净，费时费力而无用的功夫公安机关是不管的，除非你真的是因为“不停而至的威胁和骚扰短信而导致生活和工作不堪其扰”以及“生命财产受到明显的威胁”，公安机关才会给予一定的关注。如果对方没有进一步的行动的话，公安机关会给你一个切实的建议：换号。
你真的想通过法律途径解决的话只有自己动手了，那可是一个大工程啊。首先得自己掏钱请私家侦探为你搜集对方就是通过短信骚扰你的人的证据，然后聘请律师，向法庭提起民事诉讼，相信我，这绝对不会好过，一旦发起了官司，无论你是原告还是被告，都不好过。只要对方没有对你进行了实质性的伤害，最终的判决也不过是个庭外调解。这代价太大了。
我国现今的公安机关和法律体系貌似由于不够完善和资源分配不均，只是保护国民最基本的生存权而已，换句话说，只要你生命没有收到实质性的威胁和伤害而只是短信说说而已，你是没有办法获得更多的法律援助的。至于自己的人格尊严和名誉权那就得靠自己去捍卫了。而这个代价是比较大的，对个人的生活和工作都会产生很大的影响。所以还是换个号算了。

如果是我呢，先查找对方号码归属地，至少知道哪的人，然后想想自己招谁惹谁了……
如果不是自己的问题，确定自己没有能力解决后，把对方加入黑名单或换号，并且精神上诅咒他囧
这个要有具体解决方法很麻烦