·急！！！还是极限问题4

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/05 22:34:04
利用单调有界定里，证明下列数列极限存在，并求其极限
(1)设x1=根号5， x2=根号5+x1, ... , xn=根号5+xn-1, n=1,2, ... 。
请知道的朋友帮忙详细解答一下，谢谢

显然：xn＞0.
1)用数学归纳法证明:xn＜3
n=1、2时显然成立，假定n=k时成立,xn＜3
x(n+1)=√(5+xn)＜√(5+3)=√8＜√9=3,即n=k+1时成立.
2)用数学归纳法证明:xn-1＜xn
n=1、2时显然成立，假定n=k时成立,x(k-1)＜xk
x(k+1)-xk=√(5+xk)-√[5+x(k-1)],由于x(k-1)＜xk,√(5+xk)-√[5+x(k-1)＞0
x(k+1)-xk,即n=k+1时成立.
由1)、2)可知{xn}单增有上限，它有极限，不妨设极限为A
对于x(n+1)=√(5+xn)等式两边同时取极限有：A=√(5+A),
解得：A=(1+√21)/2.

x2-x1=√5
x3-x2=√5
……
……
x(n-1)-x(n-2)=√5
xn-x(n-1)=√5

∴xn-x1=(n-1)√5，x1=√5
得xn=√5n

这个极限明显不存在吧

或许我哪里理解错了……