数值分析第五版第二章课后题答案

第二章 插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：

则二次拉格朗日插值多项式为

2．给出 的数值表
X0.40.50.60.70.8
lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，

若采用线性插值法计算 即 ，
则

若采用二次插值法计算 时，

3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当 时，
令
取
令
则
当 时，线性插值多项式为

插值余项为

又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且 ，故计算中有误差传播过程。

总误差界为

4．设为互异节点，求证：
（1）
（2）
证明
（1）令
若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。
插值余项为
又

由上题结论可知

得证。
5设 且 求证：

解：令 ，以此为插值节点，则线性插值多项式为

=

插值余项为

6．在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为 和 ，则分段二次插值多项式的插值余项为

设步长为h，即

若截断误差不超过 ，则
<