线性代数，内积空间

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/25 15:24:15
假设V是线性空间在R中有内积空间。<.,.>
假设{x1,.....,xr}是在V中的非零向量有<xi,xj>=0 i不等于j.
证明{x1,......,xr}是线性无关

很简单的！反证法
假设是相关的，那么
a1*x1+a2*x2+……+ar*xr=0，且a1，a2…ar均不为0.
两边同时乘以x1，因为<xi,xj>=0 i不等于j.
所以a1*x1*x1=0.即x1=0与题目中已知条件相矛盾！

x1,x2...xr线性无关，则方程k1*x1+k2*x2+k3*x3+....+kr*xr=0只有零解。
对该方程左乘xi,可知除<xi,xi>项以外，其他项都为零，故ki=0.分别是xi为x1,x2,x3,....xr,则k1=k2=k3=....kr=0,故原方程只存在0解，即x1,x2,x3...xr线性无关。