高2数学几何题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/28 09:56:08
已知椭圆5x²+14y²=70和直线l:x-y+9=0，在直线l上任取一点p，经过点p且以已知椭圆的焦点为焦点做椭圆，求做出的所有椭圆中长轴最短的椭圆方程。

令所求椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1
因为焦点为（-3，0）则b^2=a^2-9
又因为直线l y=x+9上一点在椭圆上，联立两个方程得到 （2a^2-9）x^2+18a^2x+90a^2-a^4=0 当方程有一个解时，所求椭圆的长轴最短（因为此方方程必须有解，那么b^2-4ac>=0 等于0时a^2最小，即长轴最短） 即 (18a^2)^2-4(2a^2-9)(90a^2-a^4)=0 得到a^4-54a^2+405=0 解得a^2=45 那么b^2=36
故所求椭圆为x^2/45+y^2/36=1

两焦点为(-3,0)和(3,0);
所求长轴最短的椭圆即以P为顶点，以已知椭圆二焦点中距P较近的点为远焦点的椭圆；
因此当P在y轴右侧时取(3,0)为焦点，此椭圆的另一焦点为连接P和(3,0)的线段上离P最近的点，方程略；
左侧同理。