对边和相等的四边形一定有内切圆

正确。证明如下：
充分性。
设四边形ABCD，AB+CD=BC+AD，
作<A和<B的平分线交于O，〈C和〈D平分线交于O’，作OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，O’G’⊥BC，O’H⊥CD，O’E’⊥AD，连结OA，OB，
∵OA平分〈A，OB平分〈B，
∵△OEA≌△OFA，AF=AE，同理BF=BG，AE+BG=AF+BF=AB，
∵而已知AD+BC=AB+CD，
AE+ED+BG+CG=AF+BF+CD，
∴ED+CG=CD，
同理，∵△O'E'D≌△O'HD,
∴DE'=DH,
∵△O'EG'C≌△O'HC,
∴CG'=CH,
∴CG'+DE'=DH+CH=CD,
而DE+CG=CD,
∴CG'+DE'=DE+CG，
G与G',E与E'重合，
因过一点只能作一条垂线，
故O与O'也重合，
O点距四边距离相等，
是内切圆圆心，
∴对边和相等的四边形一定有内切圆。
若反过来，必要性，
E、F、G、H是切点，
则AE=AF，BF=BG，CG=CH，DH=DE，
∴AB+CD=AD+BC。